Дано:
a = 13 см (меньшее основание трапеции) b = 37 см (большее основание трапеции) Диагонали трапеции перпендикулярны
Найти:
Площадь трапеции S
Решение:
Пусть ABCD - равнобокая трапеция, где AB = a = 13 см, CD = b = 37 см. Диагонали AC и BD перпендикулярны.
Проведем высоты трапеции AE и BF. Тогда AE = BF = h, и четырехугольник ABEF - прямоугольник. EF = AB = 13 см.
Пусть DE = FC = x. Тогда EF + 2x = CD, откуда 2x = CD - EF = 37 - 13 = 24 см, и x = 12 см.
В прямоугольном треугольнике ADE имеем: AD^2 = AE^2 + DE^2 = h^2 + x^2
Так как трапеция равнобокая, AD = BC.
Площадь трапеции: S = (a+b)/2 * h = (13+37)/2 * h = 25h
Рассмотрим треугольники ABD и ABC. В этих треугольниках:
S(ABD) = 1/2 * AB * h = 1/2 * 13h S(ABC) = 1/2 * AC * BD
Поскольку диагонали перпендикулярны, площадь трапеции также равна:
S = 1/2 * AC * BD
В равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями, произведение диагоналей равно произведению оснований:
AC * BD = ab
Поэтому S = 1/2 * ab = 1/2 * 13 * 37 = 240.5
Также можно использовать свойство: в равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями, высота равна среднему геометрическому оснований:
h = sqrt(ab) = sqrt(13*37)
S = (a+b)/2 * h = (13+37)/2 * sqrt(13*37) = 25 * sqrt(481) ≈ 25 * 21.93 ≈ 548.25
Однако, для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями площадь равна половине произведения оснований:
S = (1/2) * a * b = (1/2) * 13 * 37 = 240.5 см^2
Ответ:
240.5 см^2