дано:
Вектор a(4, k + 3, 10) и вектор b(k, 4, k + 9)
найти:
Значения k, при которых векторы a и b имеют равные модули.
решение:
Сначала найдем модуль вектора a.
|a| = √(x^2 + y^2 + z^2)
Подставим значения для вектора a:
|a| = √(4^2 + (k + 3)^2 + 10^2)
= √(16 + (k + 3)^2 + 100)
= √((k + 3)^2 + 116)
Теперь найдем модуль вектора b:
|b| = √(x^2 + y^2 + z^2)
Подставим значения для вектора b:
|b| = √(k^2 + 4^2 + (k + 9)^2)
= √(k^2 + 16 + (k + 9)^2)
= √(k^2 + 16 + (k^2 + 18k + 81))
= √(2k^2 + 18k + 97)
Теперь приравняем модули векторов a и b:
√((k + 3)^2 + 116) = √(2k^2 + 18k + 97)
Возведем обе стороны в квадрат:
(k + 3)^2 + 116 = 2k^2 + 18k + 97
Раскроем скобки:
k^2 + 6k + 9 + 116 = 2k^2 + 18k + 97
k^2 + 6k + 125 = 2k^2 + 18k + 97
Переносим все в одну сторону:
0 = 2k^2 + 18k + 97 - k^2 - 6k - 125
0 = k^2 + 12k - 28
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 12, c = -28.
D = 12^2 - 4 * 1 * (-28)
D = 144 + 112
D = 256
Находим корни уравнения по формуле:
k = (-b ± √D) / (2a)
k = (-12 ± √256) / (2 * 1)
k = (-12 ± 16) / 2
Находим два значения для k:
k1 = (4) / 2 = 2
k2 = (-28) / 2 = -14
ответ:
Значения k, при которых векторы a и b имеют равные модули: k = 2 и k = -14.