дано:
Длина большой диагонали правильной шестиугольной призмы d = 8√3 см = 0.08√3 м,
угол с плоскостью основания α = 60°.
найти:
площадь полной поверхности призмы.
решение:
1. В правильной шестиугольной призме поперечное сечение (основание) представляет собой правильный шестиугольник. Длину стороны шестиугольника a можно найти из формулы для длины диагонали через сторону шестиугольника.
2. Большая диагональ правильного шестиугольника равна 2a. Значит, имеем:
d = 2a.
Подставляя значение d:
8√3 = 2a.
Отсюда:
a = 4√3 см.
3. Площадь основания S_основания шестиугольной призмы можно рассчитать по формуле:
S_основания = (3√3 / 2) * a^2.
Подставляем a:
S_основания = (3√3 / 2) * (4√3)^2 = (3√3 / 2) * 48 = 72√3 см².
4. Высота призмы h можно найти, используя угол α. Мы знаем, что h = d * sin(α).
Значит, имеем:
h = (8√3) * sin(60°) = (8√3) * (√3 / 2) = 12 см = 0.12 м.
5. Площадь боковой поверхности S_боковой шестиугольной призмы вычисляется по формуле:
S_боковой = периметр основания * высота.
Периметр P шестиугольного основания равен:
P = 6 * a = 6 * 4√3 = 24√3 см.
Теперь можем найти площадь боковой поверхности:
S_боковой = P * h = (24√3) * 12 = 288√3 см².
6. Полная площадь поверхности S_полная шестиугольной призмы равна:
S_полная = 2 * S_основания + S_боковой.
Подставляем значения:
S_полная = 2 * (72√3) + 288√3 = 144√3 + 288√3 = 432√3 см².
ответ:
площадь полной поверхности призмы равна 432√3 см².