Дано:
1. Высота правильной треугольной призмы (h).
2. Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания (α).
Найти:
Объём правильной треугольной призмы (V).
Решение:
1. Объём призмы вычисляется по формуле:
V = S * h,
где S — площадь основания, h — высота призмы.
2. Площадь основания (S) правильной треугольной призмы (равносторонний треугольник) со стороной a вычисляется по формуле:
S = (√3 / 4) * a².
3. Для нахождения стороны a через высоту h и угол α используем тригонометрические соотношения. В боковой грани, которая является прямоугольным треугольником, имеем:
tan(α) = h / (a / 2).
4. Выразим a через h и α:
a = 2h / tan(α).
5. Теперь подставим выражение для a в формулу для площади основания S:
S = (√3 / 4) * (2h / tan(α))².
6. Упростим:
S = (√3 / 4) * (4h² / tan²(α)) = (√3 / tan²(α)) * h².
7. Теперь подставим S в формулу для объёма V:
V = S * h = ((√3 / tan²(α)) * h²) * h.
8. Упростим:
V = (√3 / tan²(α)) * h³.
Ответ:
Объём правильной треугольной призмы равен (√3 / tan²(α)) * h³ см³.