Дано:
1. Диагональ правильной четырёхугольной призмы (d).
2. Угол между диагональю и плоскостью боковой грани (α).
Найти:
Объём призмы (V).
Решение:
1. Объём призмы вычисляется по формуле:
V = S * h,
где S — площадь основания, h — высота призмы.
2. Правильная четырёхугольная призма имеет основание в виде квадрата со стороной a. Площадь основания S вычисляется по формуле:
S = a².
3. Для нахождения стороны a через диагональ d и угол α используем треугольник, образованный диагональю, высотой h и стороной a. В этом треугольнике:
d = √(a² + h²).
4. Высота h выражается через диагональ d и угол α:
h = d * sin(α).
5. Подставим h в уравнение для d:
d = √(a² + (d * sin(α))²).
6. Возведем в квадрат обе стороны:
d² = a² + d² * sin²(α).
7. Переносим d² * sin²(α):
d² - d² * sin²(α) = a².
8. Упрощаем:
d²(1 - sin²(α)) = a².
9. Зная, что 1 - sin²(α) = cos²(α):
d² * cos²(α) = a².
10. Теперь выразим a:
a = d * cos(α).
11. Подставим a в формулу для объёма:
V = S * h = (d * cos(α))² * (d * sin(α)).
12. Упростим:
V = d³ * cos²(α) * sin(α).
Ответ:
Объём правильной четырёхугольной призмы равен d³ * cos²(α) * sin(α) см³.