Дано:
Куб ABCDA1B1C1D1. Точка E — середина ребра CC1. Заданы векторы AB, AD и AA1.
Найти: Выразить вектор AE через векторы AB, AD и AA1.
Решение:
1. Пусть координаты вершин куба A, B, C, D, A1, B1, C1 и D1 в декартовой системе координат следующие:
A(0; 0; 0),
B(a; 0; 0),
C(a; a; 0),
D(0; a; 0),
A1(0; 0; a),
B1(a; 0; a),
C1(a; a; a),
D1(0; a; a),
где a — длина ребра куба.
2. Вектор AE — это вектор, соединяющий точку A с точкой E, где E — середина ребра CC1.
Точка E — середина отрезка CC1, значит, её координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек C и C1:
E = ((a + a) / 2; (a + a) / 2; (0 + a) / 2) = (a; a; a/2).
3. Вектор AE можно выразить как разность координат точки E и точки A:
AE = E - A = (a; a; a/2) - (0; 0; 0) = (a; a; a/2).
4. Теперь выразим вектор AE через векторы AB, AD и AA1.
Вектор AB = (a; 0; 0),
Вектор AD = (0; a; 0),
Вектор AA1 = (0; 0; a).
Вектор AE можно выразить как линейную комбинацию этих векторов:
AE = a * AB + a * AD + (a/2) * AA1.
Ответ:
Вектор AE можно выразить через векторы AB, AD и AA1 следующим образом:
AE = a * AB + a * AD + (a/2) * AA1.