Дано:
- Тетраэдр DABC.
- M — середина ребра AD.
- O — точка пересечения медиан грани BDC.
Найти:
Вектор MO через векторы AB, AC и AD.
Решение:
1. Обозначим координаты вершин тетраэдра:
A = (0; 0; 0),
B = (a; 0; 0) = A + AB,
C = (b; c; 0) = A + AC,
D = (d; e; f) = A + AD.
2. Найдем координаты точки M, которая является серединой ребра AD:
M = (A + D) / 2 = (0; 0; 0) + (d; e; f) / 2 = (d/2; e/2; f/2).
3. Теперь найдем точку O, которая является точкой пересечения медиан грани BDC. Медиана из вершины B проходит к середине отрезка DC:
Середина отрезка DC:
K = (C + D) / 2 = ((b; c; 0) + (d; e; f)) / 2 = ((b + d)/2; (c + e)/2; f/2).
4. Теперь можем выразить вектор BO:
Вектор BO будет равен:
BO = O - B.
Точка O находится вдоль отрезка BK. Так как медиана делит отрезок в отношении 2:1, то точка O будет находиться на расстоянии 2/3 от B до K:
O = B + (2/3)(K - B).
5. Подставим координаты:
O = (a; 0; 0) + (2/3)((b + d)/2 - a; (c + e)/2 - 0; f/2 - 0).
Упрощаем это выражение:
O = (a + (b + d)/3 - (2a)/3; (2c + 2e)/6; (2f)/6).
Окончательно:
O = ((a + b + d)/3; (c + e)/3; f/3).
6. Теперь найдем вектор MO:
MO = O - M = ((a + b + d)/3; (c + e)/3; f/3) - (d/2; e/2; f/2).
7. Запишем разность по компонентам:
MO = (((a + b + d)/3 - d/2); ((c + e)/3 - e/2); (f/3 - f/2)).
8. Упростим каждую компоненту:
1) Для первой компоненты:
(a + b + d)/3 - d/2 = (a + b + d - 3d/2)/3 = (a + b - d/2)/3.
2) Для второй компоненты:
(c + e)/3 - e/2 = (c + e - 3e/2)/3 = (c - e/2)/3.
3) Для третьей компоненты:
f/3 - f/2 = (2f - 3f)/6 = -f/6.
Теперь у нас есть выражение для вектора MO:
MO = ((a + b - d/2)/3; (c - e/2)/3; -f/6).
9. Выразим вектор MO через векторы AB, AC и AD:
- AB = (a; 0; 0),
- AC = (b; c; 0),
- AD = (d; e; f).
Таким образом, мы можем записать:
MO = 1/3 * (AB + AC) - 1/6 * AD.
Ответ:
Вектор MO = 1/3 * (AB + AC) - 1/6 * AD.