Дано:
- Тетраэдр DABC.
- Точка М — середина ребра ВС.
- Необходимо выразить вектор DM через векторы АВ, АС и AD.
Найти:
- Вектор DM через векторы АВ, АС и AD.
Решение:
1. Так как точка М — середина ребра ВС, то вектор BM равен вектору MC. Можем записать:
М = (1/2)(B + C)
2. Теперь найдем вектор DM, который равен разности векторов D и M:
DM = M - D
Подставляем выражение для М:
DM = (1/2)(B + C) - D
3. Раскроем скобки:
DM = (1/2)B + (1/2)C - D
4. Теперь выразим векторы B и C через векторы A, используя соотношения для векторов:
B = A + AB
C = A + AC
Подставляем эти выражения в формулу для DM:
DM = (1/2)(A + AB) + (1/2)(A + AC) - D
5. Раскроем скобки и упростим:
DM = (1/2)A + (1/2)AB + (1/2)A + (1/2)AC - D
DM = A + (1/2)AB + (1/2)AC - D
6. Выразим вектор D через вектор A, используя соотношение D = A + AD:
DM = A + (1/2)AB + (1/2)AC - (A + AD)
7. Упростим выражение:
DM = A + (1/2)AB + (1/2)AC - A - AD
DM = (1/2)AB + (1/2)AC - AD
Ответ:
Вектор DM = (1/2)(AB) + (1/2)(AC) - AD.