Дано:
- Тетраэдр DABC.
- Точка М — середина ребра ВС.
- Точка К — середина отрезка DM.
- Необходимо выразить вектор АК через векторы АВ, АС и AD.
Найти:
Вектор АК через векторы АВ, АС и AD.
Решение:
1. Так как точка М — середина ребра ВС, то вектор BM равен вектору MC. Можем записать:
М = (1/2)(В + С)
2. Точка К — середина отрезка DM, следовательно, вектор DK равен вектору KM, и можно выразить вектор К как:
К = (1/2)(D + М)
Подставляем выражение для М:
К = (1/2)(D + (1/2)(B + C))
Упростим:
К = (1/2)D + (1/4)(B + C)
3. Теперь нужно выразить вектор АК. Мы знаем, что:
АК = К - А
Подставляем выражение для К:
АК = [(1/2)D + (1/4)(B + C)] - A
4. Раскроем скобки:
АК = (1/2)D - A + (1/4)B + (1/4)C
5. Выразим вектор A через другие векторы. Вектор A можно выразить как разность векторов, например:
A = 0 (для удобства, выбрав точку A как начало координат)
Тогда:
АК = (1/2)D + (1/4)B + (1/4)C
6. Таким образом, вектор АК можно выразить через векторы A, B, C и D:
АК = (1/2)(AD) + (1/4)(AB) + (1/4)(AC)
Ответ:
Вектор АК = (1/2)(AD) + (1/4)(AB) + (1/4)(AC).