дано:
сторона основания правильной треугольной пирамиды a = 5 см,
площадь основания S1 относится к площади боковой грани S2 как 3 : 7.
найти:
высоту пирамиды h.
решение:
1. Найдем площадь основания правильной треугольной пирамиды:
S1 = (sqrt(3) / 4) * a² = (sqrt(3) / 4) * (5)² = (sqrt(3) / 4) * 25 = (25 * sqrt(3)) / 4 см².
2. Обозначим площадь боковой грани как S2 и запишем соотношение площадей:
S1 : S2 = 3 : 7.
Это можно записать как:
S2 = (7 / 3) * S1.
3. Подставим значение S1 в формулу для S2:
S2 = (7 / 3) * ((25 * sqrt(3)) / 4) = (175 * sqrt(3)) / 12 см².
4. Площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды, у которой основание является равносторонним треугольником, можно найти по формуле:
S2 = (a * l) / 2,
где l — высота боковой грани (или апофема), которая связана с высотой пирамиды h и радиусом описанной окружности R основания.
5. Радиус описанной окружности правильного треугольника:
R = a / (sqrt(3)) = 5 / (sqrt(3)).
6. Теперь мы можем выразить l через h:
l = sqrt(h² + R²) = sqrt(h² + (5/(sqrt(3)))²) = sqrt(h² + 25/3).
7. Заменим S2:
(175 * sqrt(3)) / 12 = (5 * sqrt(h² + 25/3)) / 2.
8. Упростим уравнение:
175 * sqrt(3) = 30 * sqrt(h² + 25/3).
9. Разделим обе стороны на 5:
35 * sqrt(3) = 6 * sqrt(h² + 25/3).
10. Возведем обе стороны в квадрат:
(35 * sqrt(3))² = (6 * sqrt(h² + 25/3))²,
1225 * 3 = 36 * (h² + 25/3),
3675 = 36h² + 300.
11. Упростим уравнение:
36h² = 3675 - 300,
36h² = 3375,
h² = 3375 / 36,
h² = 93.75,
h = sqrt(93.75) ≈ 9.68 см.
ответ:
высота пирамиды примерно равна 9.68 см.