Дано:
t = 2a - b,
n = a - 3b,
|a| = 2,
|b| = √2,
t ⊥ n (векторы t и n перпендикулярны).
Найти угол между векторами a и b.
Решение:
1. Условие, что векторы t и n перпендикулярны, означает, что их скалярное произведение равно нулю:
t * n = 0.
2. Подставим выражения для векторов t и n:
(2a - b) * (a - 3b) = 0.
3. Раскроем скалярное произведение:
(2a) * (a) + (2a) * (-3b) + (-b) * (a) + (-b) * (-3b) = 0.
Это дает:
2a * a - 6a * b - b * a + 3b * b = 0.
4. Используем свойства скалярного произведения: a * a = |a|^2 и a * b = b * a. Тогда выражение становится:
2|a|^2 - 6a * b - a * b + 3|b|^2 = 0.
5. Подставим значения длин векторов:
2(2^2) - 6a * b - a * b + 3(√2)^2 = 0.
Это упрощается до:
2(4) - 6a * b - a * b + 3(2) = 0.
8 - 7a * b + 6 = 0.
6. Упростим:
14 - 7a * b = 0.
7a * b = 14.
a * b = 2.
7. Теперь, зная скалярное произведение a * b, можем найти угол между векторами a и b. Скалярное произведение a * b выражается через угол θ между ними:
a * b = |a| * |b| * cos(θ).
Подставим известные значения:
2 = 2 * √2 * cos(θ).
8 = 2√2 * cos(θ).
cos(θ) = 8 / (2√2).
cos(θ) = 4 / √2.
cos(θ) = 2√2.
8. Следовательно, угол θ:
θ = arccos(2√2).
Ответ: Угол между векторами a и b равен 15°.