Дано:
- Векторы m = a + b и n = a - 2b.
- |a| = √2, |b| = 2.
- Угол между векторами a и b: ∠(a, b) = 135°.
Необходимо найти угол между векторами m и n.
Решение:
1. Сначала вычислим скалярное произведение векторов m и n:
m • n = (a + b) • (a - 2b).
Раскроем скалярное произведение:
m • n = a • a - 2a • b + b • a - 2b • b.
Так как скалярное произведение коммутативно (a • b = b • a), получаем:
m • n = a • a - 2a • b + a • b - 2b • b = a • a - a • b - 2b • b.
2. Используем известные значения:
- a • a = |a|² = (√2)² = 2.
- b • b = |b|² = 2² = 4.
- a • b = |a| |b| cos(∠(a, b)) = √2 * 2 * cos(135°) = √2 * 2 * (-1/√2) = -2.
Теперь подставим в формулу для m • n:
m • n = 2 - (-2) - 2 * 4 = 2 + 2 - 8 = -4.
3. Теперь находим угол между векторами m и n с использованием формулы для скалярного произведения:
m • n = |m| |n| cos(θ).
Нам нужно вычислить длины векторов m и n:
- |m| = √(a + b) • (a + b) = a • a + 2a • b + b • b = 2 + 2 * (-2) + 4 = 2 - 4 + 4 = 2, то есть |m| = √2.
- |n| = √(a - 2b) • (a - 2b) = a • a - 2a • b - 2b • a + 4b • b = 2 - 2 * (-2) - 2 * (-2) + 4 * 4 = 2 + 4 + 4 + 16 = 26, то есть |n| = √26.
Теперь подставляем в формулу для угла:
-4 = √2 * √26 * cos(θ).
Решаем для cos(θ):
cos(θ) = -4 / (√2 * √26) = -4 / √(2 * 26) = -4 / √52 = -4 / (2√13) = -2 / √13.
4. Угол θ = arccos(-2 / √13).
Ответ: угол между векторами m и n равен arccos(-2 / √13).