Дано:
- векторы m и n, такие что |m| = 1, |n| = √3, угол между ними ∠(m, n) = 30°.
- векторы a = m - n и b = m + 2n.
- Необходимо найти угол между векторами a и b.
Решение:
1. Для начала вычислим скалярное произведение векторов a и b.
a • b = (m - n) • (m + 2n).
Раскроем скалярное произведение:
a • b = m • m + 2m • n - n • m - 2n • n.
Так как скалярное произведение коммутативно (m • n = n • m), получаем:
a • b = m • m + 2m • n - m • n - 2n • n = m • m + m • n - 2n • n.
2. Подставим известные значения:
- m • m = |m|² = 1² = 1.
- n • n = |n|² = (√3)² = 3.
- m • n = |m| |n| cos(∠(m, n)) = 1 * √3 * cos(30°) = √3 * (√3/2) = 3/2.
Теперь подставим эти значения в выражение для a • b:
a • b = 1 + 3/2 - 2 * 3 = 1 + 3/2 - 6 = 1 - 6 + 3/2 = -5 + 3/2 = -7/2.
3. Теперь находим длины векторов a и b:
- |a| = √(m - n) • (m - n) = m • m - 2m • n + n • n = 1 - 2 * (3/2) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1, то есть |a| = 1.
- |b| = √(m + 2n) • (m + 2n) = m • m + 4m • n + 4n • n = 1 + 4 * (3/2) + 4 * 3 = 1 + 6 + 12 = 19, то есть |b| = √19.
4. Теперь можем найти угол θ между векторами a и b с использованием формулы для скалярного произведения:
a • b = |a| |b| cos(θ).
Подставим известные значения:
-7/2 = 1 * √19 * cos(θ).
Решим для cos(θ):
cos(θ) = (-7/2) / √19 = -7 / (2√19).
5. Угол θ = arccos(-7 / (2√19)).
Ответ: угол между векторами a и b равен arccos(-7 / (2√19)).