Дано:
М(3; а; -5), К(7; 1; а), уравнение плоскости 4x - 3y + z - 6 = 0.
Найти: значение а, при котором прямая МК параллельна плоскости.
Решение:
1. Вектор, направляющий прямую МК, можно найти как разность координат точек К и М:
v = (7 - 3, 1 - а, а - (-5)) = (4, 1 - а, а + 5).
2. Плоскость имеет нормальный вектор, который можно извлечь из её уравнения 4x - 3y + z - 6 = 0. Нормальный вектор плоскости:
n = (4, -3, 1).
3. Чтобы прямая была параллельна плоскости, вектор прямой должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости. Для этого скалярное произведение вектора v и вектора n должно быть равно 0:
v • n = 0.
4. Скалярное произведение:
v • n = (4, 1 - а, а + 5) • (4, -3, 1) = 4 * 4 + (1 - а) * (-3) + (а + 5) * 1.
Разворачиваем выражение:
v • n = 16 + (-3 + 3а) + (а + 5) = 16 - 3 + 3а + а + 5 = 18 + 4а.
5. Приравниваем скалярное произведение к 0:
18 + 4а = 0.
6. Решаем относительно а:
4а = -18,
а = -18 / 4,
а = -9/2.
Ответ:
При а = -9/2 прямая МК параллельна плоскости.