дано:
- Уравнение плоскости: 4x - 3y + 5z + 2 = 0.
- Уравнение сферы: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = R^2, где R – радиус сферы.
найти:
Уравнение плоскости, параллельной данной плоскости и пересекающей сферу по большой окружности.
решение:
1. Параллельные плоскости имеют одинаковые нормальные векторы, следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид:
4x - 3y + 5z + D = 0,
где D – произвольная константа.
2. Плоскость будет пересекаться со сферой по большой окружности, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы.
3. Найдем центр сферы из уравнения:
Центр O(1, 2, -3).
4. Чтобы найти расстояние от точки O до плоскости, используем формулу для расстояния от точки (x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0:
Расстояние = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).
5. Подставим значения A = 4, B = -3, C = 5, D = D и координаты центра O(1, 2, -3):
Расстояние = |4*1 - 3*2 + 5*(-3) + D| / sqrt(4^2 + (-3)^2 + 5^2)
= |4 - 6 - 15 + D| / sqrt(16 + 9 + 25)
= |D - 17| / sqrt(50)
= |D - 17| / (5sqrt(2)).
6. Для того чтобы плоскость пересекалась со сферой по большой окружности, необходимо, чтобы расстояние было меньше радиуса R:
|D - 17| < 5sqrt(2)R.
7. Теперь найдём возможные значения D. Это не ограничивает нас, но мы можем выбрать, например, D = 17, чтобы плоскость проходила через центр сферы.
8. В этом случае уравнение плоскости будет:
4x - 3y + 5z = 0.
ответ:
Уравнение плоскости, параллельной плоскости 4x - 3y + 5z + 2 = 0 и пересекающей сферу по большой окружности, может быть записано как:
4x - 3y + 5z = 0.