Дано:
- Уравнение сферы: x^2 + y^2 + z^2 + 4x + 2y - 8z - 4 = 0.
Найти:
Координаты центра сферы и радиус, а также расположение точки A(1, 2, 5) относительно данной сферы.
Решение:
1. Приведем уравнение сферы к стандартному виду. Для этого сгруппируем все члены уравнения:
x^2 + 4x + y^2 + 2y + z^2 - 8z - 4 = 0.
2. Теперь приведем каждую квадратную часть к полной квадратной форме.
- Для x:
x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4.
- Для y:
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1.
- Для z:
z^2 - 8z = (z - 4)^2 - 16.
3. Подставим эти выражения обратно в уравнение:
(x + 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 4)^2 - 16 - 4 = 0.
4. Упростим уравнение:
(x + 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2 - 25 = 0.
5. Теперь перенесем 25 на другую сторону:
(x + 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2 = 25.
6. Таким образом, у нас есть центр и радиус сферы:
Центр C(-2, -1, 4) и радиус R = √25 = 5.
Теперь рассмотрим точку A(1, 2, 5):
7. Найдем расстояние от точки A до центра сферы C. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²),
где C(x1, y1, z1) и A(x2, y2, z2).
Подставляем значения:
d = √((1 - (-2))² + (2 - (-1))² + (5 - 4)²)
= √((1 + 2)² + (2 + 1)² + (5 - 4)²)
= √(3² + 3² + 1²)
= √(9 + 9 + 1)
= √19.
8. Сравним полученное расстояние d с радиусом R:
√19 ≈ 4.36 < 5.
Ответ:
Координаты центра сферы: C(-2, -1, 4), радиус сферы: R = 5. Точка A(1, 2, 5) находится внутри сферы, так как расстояние от точки до центра меньше радиуса.