Дано (в СИ):
Плоскость 1: 2x - y + z - b = 0
Плоскость 2: x + 2y - 3z + 4 = 0
Найти: Угол между плоскостями.
Решение:
1. Угол между плоскостями определяется через угол между их нормальными векторами. Для этого нужно найти нормальные векторы обеих плоскостей.
Нормальный вектор плоскости 1:
n1 = (2, -1, 1)
Нормальный вектор плоскости 2:
n2 = (1, 2, -3)
2. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами, который можно найти по формуле:
cos(θ) = (n1 · n2) / (|n1| |n2|)
где n1 · n2 — скалярное произведение нормальных векторов,
|n1| и |n2| — длины нормальных векторов.
3. Скалярное произведение n1 · n2:
n1 · n2 = (2)(1) + (-1)(2) + (1)(-3) = 2 - 2 - 3 = -3
4. Длины нормальных векторов:
|n1| = √(2^2 + (-1)^2 + 1^2) = √(4 + 1 + 1) = √6
|n2| = √(1^2 + 2^2 + (-3)^2) = √(1 + 4 + 9) = √14
5. Подставим значения в формулу для cos(θ):
cos(θ) = (-3) / (√6 * √14) = -3 / √84 = -3 / (2√21)
6. Для нахождения угла θ, возьмем арккосинус:
θ = arccos(-3 / (2√21))
Ответ: Угол между плоскостями θ = arccos(-3 / (2√21)).