Дано: уравнение плоскости x + y - z + 3 = 0.
Найти: уравнение образа этой плоскости при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k = -2.
Решение:
1. Уравнение плоскости в исходной системе координат:
x + y - z + 3 = 0.
2. Гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом k = -2 преобразует любые точки по следующему правилу:
(x, y, z) → (kx, ky, kz).
3. Чтобы найти уравнение образа плоскости, подставим в исходное уравнение выражения для новых координат (x', y', z'):
Пусть x' = -2x, y' = -2y, z' = -2z.
Тогда x = -x'/2, y = -y'/2, z = -z'/2.
4. Подставим эти выражения в уравнение плоскости x + y - z + 3 = 0:
(-x'/2) + (-y'/2) - (-z'/2) + 3 = 0.
Упростим:
-x'/2 - y'/2 + z'/2 + 3 = 0.
Умножим все на 2, чтобы избавиться от дробей:
-x' - y' + z' + 6 = 0.
5. Получаем уравнение образа плоскости:
x' + y' - z' - 6 = 0.
Ответ: уравнение образа плоскости при гомотетии с коэффициентом k = -2:
x' + y' - z' - 6 = 0.