Дано:
- Высота равнобедренного треугольника h.
- Угол между равными сторонами α.
Найти: радиус окружности, вписанной в данный треугольник r.
Решение:
1. Обозначим длину основания равнобедренного треугольника как a. Поскольку высота h проведена к основанию, она делит его пополам на два отрезка длиной a/2.
2. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных высотой h и половиной основания a/2. Обозначим равные стороны треугольника как b.
3. Используем тригонометрические соотношения для нахождения b:
sin(α/2) = (h / b),
откуда следует, что b = h / sin(α/2).
4. Теперь найдем длину основания a через b:
cos(α/2) = (a/2) / b,
a/2 = b * cos(α/2),
a = 2b * cos(α/2).
5. Подставляем значение b:
a = 2 * (h / sin(α/2)) * cos(α/2),
a = (2h * cos(α/2)) / sin(α/2).
6. Найдем площадь S равнобедренного треугольника по формуле:
S = (1/2) * a * h.
7. Подставим выражение для a в формулу площади:
S = (1/2) * [(2h * cos(α/2)) / sin(α/2)] * h,
S = (h^2 * cos(α/2)) / sin(α/2).
8. Радиус вписанной окружности рассчитывается по формуле:
r = S / p,
где p — полупериметр треугольника, который равен:
p = (a + 2b) / 2.
9. Подставим значения b и a в формулу для полупериметра:
p = [(2 * (h * cos(α/2)) / sin(α/2)) + 2 * (h / sin(α/2))]/2
= [(h * cos(α/2) + 2h) / sin(α/2)].
10. Подставив значения S и p в формулу для r, получаем:
r = {[(h^2 * cos(α/2)) / sin(α/2)]} / {[(h * cos(α/2) + 2h) / sin(α/2)]}.
11. Сократив общие множители, получаем:
r = h * cos(α/2) / (cos(α/2) + 2).
Ответ: радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен h * cos(α/2) / (cos(α/2) + 2).