Дано:
- Высота основания правильной треугольной призмы h = 9 см.
- Боковое ребро призмы l = 4 см.
Найти: площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.
Решение:
1. В правильной треугольной призме основание является равносторонним треугольником. Мы можем обозначить сторону основания треугольника как a.
2. Используем теорему Пифагора для нахождения стороны a. В равностороннем треугольнике высота h и сторона a соотносятся следующим образом:
h = (sqrt(3)/2) * a.
3. Из этого уравнения можно выразить сторону a:
a = (2 * h) / sqrt(3).
4. Подставляем значение высоты:
a = (2 * 9) / sqrt(3) = 18 / sqrt(3) = 6 * sqrt(3) см.
5. Теперь найдем радиус r окружности, описанной около равностороннего треугольника:
r = a / (sqrt(3)) = (6 * sqrt(3)) / sqrt(3) = 6 см.
6. Диаметр D описанного цилиндра равен:
D = 2 * r = 2 * 6 = 12 см.
7. Площадь осевого сечения S_cylinder цилиндра определяется как:
S_cylinder = h * D.
8. Подставляем значения:
S_cylinder = 9 * 12 = 108 см².
Ответ: площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы, равна 108 см².