Дано:
- Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна S.
Найти: площадь осевого сечения цилиндра, описанного вокруг данной призмы.
Решение:
1. Правильная треугольная призма имеет основание в виде правильного треугольника. Площадь боковой поверхности призмы S можно выразить как S = P * h, где P — периметр основания, а h — высота призмы.
2. Для правильного треугольника с ребром a периметр вычисляется по формуле:
P = 3a.
3. Площадь основания правильного треугольника A равна:
A = (a^2 * √3) / 4.
4. Высота H призмы может быть найдена из площади боковой поверхности:
S = P * H
=> H = S / P = S / (3a).
5. Теперь необходимо найти радиус описанной окружности R правильного треугольника. Радиус R вычисляется по формуле:
R = a / (√3).
6. Площадь осевого сечения описанного цилиндра S_ax равна площади круга с радиусом R:
S_ax = π * R^2.
7. Подставляем значение радиуса:
S_ax = π * (a / (√3))^2
= π * (a^2 / 3).
8. Чтобы выразить a через площадь основания A, используем формулу для площади треугольника:
a^2 = (4A) / √3.
9. Теперь подставим это значение в выражение для площади осевого сечения:
S_ax = π * [(4A) / √3] / 3
= (4πA) / (3√3).
Ответ: площадь осевого сечения цилиндра, описанного вокруг данной призмы, равна (4πA) / (3√3).