Дано:
- Правильная треугольная призма с ребром a.
Найти: отношение площади осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, к площади осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.
Решение:
1. Площадь осевого сечения описанного цилиндра S_ax_outer равна площади основания правильного треугольника, так как осевое сечение цилиндра будет иметь такую же форму, как основание призмы. Площадь правильного треугольника рассчитывается по формуле:
S_triangle = (a^2 * √3) / 4.
2. Площадь осевого сечения описанного цилиндра:
S_ax_outer = S_triangle = (a^2 * √3) / 4.
3. Теперь находим площадь осевого сечения вписанного цилиндра S_ax_inner. Радиус r вписанной окружности правильного треугольника можно найти по формуле:
r = a * √3 / 6.
4. Площадь осевого сечения вписанного цилиндра (круг) вычисляется по формуле:
S_ax_inner = π * r^2.
5. Подставляем значение радиуса:
S_ax_inner = π * (a * √3 / 6)^2 = π * (a^2 * 3 / 36) = (π * a^2 * √3) / 12.
6. Теперь найдем отношение площадей осевых сечений:
Отношение = S_ax_outer / S_ax_inner = ((a^2 * √3) / 4) / ((π * a^2 * √3) / 12).
7. Упрощая выражение, сокращаем a^2 и √3:
Отношение = (12 / 4) / π = 3 / π.
Ответ: отношение площади осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, к площади осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму, равно 3 / π.