Дано:
- Правильная шестиугольная призма с ребром a.
Найти: отношение площади боковой поверхности цилиндра, описанного около правильной шестиугольной призмы, к площади боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.
Решение:
1. Площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около шестиугольной призмы S_b_outer, вычисляется по формуле:
S_b_outer = P * h,
где P — периметр основания (шестиугольника), а h — высота призмы.
2. Периметр P шестиугольника равен:
P = 6 * a.
3. Высота призмы h — обозначим как H.
4. Подставляем значения и получаем площадь боковой поверхности описанного цилиндра:
S_b_outer = (6 * a) * H = 6aH.
5. Теперь находим площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в шестиугольную призму S_b_inner. Радиус r вписанной окружности шестиугольника рассчитывается по формуле:
r = (a * √3) / 2.
6. Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра вычисляется по формуле:
S_b_inner = 2 * π * r * H.
7. Подставляем значение радиуса:
S_b_inner = 2 * π * (a * √3 / 2) * H = π * a√3 * H.
8. Теперь найдем отношение площадей боковых поверхностей цилиндров:
Отношение = S_b_outer / S_b_inner = (6aH) / (π * a√3 * H).
9. Упрощая выражение, сокращаем a и H:
Отношение = 6 / (π√3).
Ответ: отношение площади боковой поверхности цилиндра, описанного около правильной шестиугольной призмы, к площади боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму, равно 6 / (π√3).