Дано:
- Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы S.
Найти: площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.
Решение:
1. Правильная шестиугольная призма имеет основание в виде правильного шестиугольника. Периметр P шестиугольника можно выразить через сторону a:
P = 6a.
2. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы выражается как:
S = P * H,
где H — высота призмы.
3. Из данной формулы для площади боковой поверхности призмы мы можем выразить высоту H:
H = S / P = S / (6a).
4. Радиус r вписанного цилиндра равен радиусу описанной окружности правильного шестиугольника. Радиус R правильного шестиугольника можно найти по формуле:
R = a.
5. Площадь боковой поверхности цилиндра S_cylinder выражается как:
S_cylinder = 2 * π * r * H,
где r — радиус основания цилиндра, а H — высота призмы.
6. Подставляем известные значения:
S_cylinder = 2 * π * a * (S / (6a)).
7. Упрощаем:
S_cylinder = (2 * π * S) / 6 = (π * S) / 3.
Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму, равна (π * S) / 3.