Дано:
1. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы (h) = 8 см.
2. Диагональ боковой грани (d) = 13 см.
Найти:
Радиус шара, описанного около данной призмы (R).
Решение:
1. Правильная шестиугольная призма имеет основание в виде правильного шестиугольника. Радиус описанной окружности R основан на длине стороны основания (a). Для шестиугольника с радиусом описанной окружности можно использовать формулу:
R = a.
2. Однако, чтобы найти радиус шара, описанного около призмы, необходимо учитывать высоту (h) и диагональ (d) боковой грани. Боковая грань является прямоугольником, где одна сторона равна боковому ребру, а другая равна диагонали боковой грани.
3. Для нахождения радиуса описанной окружности можно использовать формулу:
R = √((h² + (a√3)²) / 2).
4. Однако сначала найдем длину стороны a. Для прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, половиной длины диагонали и стороной основания:
d² = h² + (a√3)².
5. Подставим известные значения:
13² = 8² + (a√3)².
169 = 64 + 3a².
3a² = 169 - 64 = 105.
a² = 35.
a = √35 см.
6. Теперь подставим значение a в формулу для радиуса R:
R = √((h² + (a√3)²) / 2).
R = √((8² + (√35√3)²) / 2).
R = √((64 + 105) / 2) = √((169) / 2) = √84.5 см.
Ответ:
Радиус шара, описанного около данной призмы, равен √84.5 см.