Дано:
a - длина большей боковой стороны трапеции. R1 = 1 см - расстояние от центра вписанной окружности до одного конца большей боковой стороны. R2 = 2 см - расстояние от центра вписанной окружности до другого конца большей боковой стороны.
Найти:
S - площадь трапеции.
Решение:
Поскольку в трапецию вписана окружность, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
a + b = c + d,
где a, b - основания, c, d - боковые стороны.
В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна диаметру вписанной окружности:
a = 2R,
где R - радиус вписанной окружности.
Расстояние от центра вписанной окружности до концов большей боковой стороны представляют собой радиусы окружности, проведенные к точкам касания. Так как трапеция прямоугольная, то меньшее основание равно разности длин большей боковой стороны и диаметра вписанной окружности:
b = a - 2R = 2R - 2R = 0. Это означает что трапеция вырождена, так как у прямоугольной трапеции основания не могут быть равны. Это противоречие.
В условии задачи даны расстояния от центра вписанной окружности до концов большей боковой стороны, равные 1 см и 2 см. Сумма этих расстояний равна длине большей боковой стороны:
a = R1 + R2 = 1 см + 2 см = 3 см
Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра до любой стороны. Пусть R - радиус вписанной окружности. Тогда высота трапеции h равна 2R. В прямоугольной трапеции высота равна длине меньшего основания. Поэтому:
h = b = 2R
В данном случае сумма расстояний от центра вписанной окружности до концов большей боковой стороны равна длине большей боковой стороны, а не диаметру.
Так как трапеция прямоугольная, расстояние от центра вписанной окружности до большей боковой стороны равно радиусу вписанной окружности R. В этом случае:
R = 1 + 2 = 3 см. Тогда высота трапеции h = 2R = 6 см. Длина большей боковой стороны a = 3 см Длина меньшего основания b = 2R = 6 см
Площадь трапеции:
S = (a + b) * h / 2
Здесь мы имеем прямоугольную трапецию, у которой меньшее основание равно высоте.
S = (3 + 6) * 6 / 2 = 27 кв.см
Ответ: 27 кв.см