Дано:
- Основание пирамиды — ромб с диагоналями d1 = 30 см и d2 = 40 см.
- Высота пирамиды h = 16 см, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба.
Найти: площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:
1. Сначала найдем площадь основания пирамиды (ромба). Площадь ромба S основание можно найти по формуле:
S = (d1 * d2) / 2.
Подставляя значения:
S = (30 см * 40 см) / 2 = 1200 см².
2. Далее находим длину стороны ромба. Каждая сторона ромба равна половине длины диагонали, использующей теорему Пифагора. Половины диагоналей равны:
a1 = d1 / 2 = 30 см / 2 = 15 см,
a2 = d2 / 2 = 40 см / 2 = 20 см.
3. Теперь найдем длину стороны ромба a:
a = sqrt(a1² + a2²) = sqrt(15² + 20²) = sqrt(225 + 400) = sqrt(625) = 25 см.
4. Теперь можем найти высоту боковой грани (треугольника), которая соединяет вершину пирамиды с одним из углов ромба (например, A). Высота этой боковой грани будет равно h (высота пирамиды) и расстоянию от центра ромба до вершины треугольника.
5. Для нахождения высоты боковой грани можно использовать теорему Пифагора:
h_боковой = sqrt(h² + (a/2)²) = sqrt(16² + (25/2)²) = sqrt(256 + 156.25) = sqrt(412.25) ≈ 20.31 см.
6. Площадь одной боковой грани (треугольника) можно найти по формуле:
S_боковой = (1/2) * основание * высота = (1/2) * a * h_боковой.
7. Подставляем известные значения:
S_боковой = (1/2) * 25 см * 20.31 см ≈ 253.875 см².
8. Боковая поверхность пирамиды состоит из 4 таких треугольников (граней):
S_боковой_поверхности = 4 * S_боковой.
9. Подставляем значение:
S_боковой_поверхности = 4 * 253.875 см² ≈ 1015.50 см².
Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна 1015.50 см².