Дано:
a - длина хорды в основании конуса. α - градусная мера дуги, стягиваемой хордой (0° < α < 180°). β - угол между образующей конуса и плоскостью основания.
Найти:
h - высота конуса.
Решение:
Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через хорду и вершину конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник.
Пусть R - радиус основания конуса. В этом равнобедренном треугольнике хорда a является основанием, а две равные стороны - образующие конуса длиной l.
Центральный угол, соответствующий дуге α, равен α. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен α/2.
В равнобедренном треугольнике, образованном сечением, проведем высоту к основанию (хорде a). Эта высота делит хорду пополам, образуя два прямоугольных треугольника с гипотенузой l и катетами a/2 и R.
В одном из этих прямоугольных треугольников по теореме косинусов имеем:
l^2 = R^2 + (a/2)^2 - 2R(a/2)*cos(α/2)
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса h, радиусом R и образующей l, имеем:
l = sqrt(h^2 + R^2)
Угол β - это угол между образующей и плоскостью основания. В прямоугольном треугольнике с катетами h и R, и гипотенузой l, имеем:
sin(β) = h / l
Из уравнения (7) выражаем l: l = h / sin(β)
Подставляем это выражение для l в уравнение (6):
(h / sin(β))^2 = h^2 + R^2
Из уравнения (9) выражаем R^2:
R^2 = (h^2 / sin^2(β)) - h^2 = h^2 * ((1/sin^2(β)) - 1)
В сечении конуса, можно использовать также теорему синусов для треугольника с сторонами a, l, l:
a / sin(α) = l / sin(α/2)
Отсюда, l = a*sin(α/2) / sin(α)
Подставляя l из пункта 8 в уравнение из пункта 12: h / sin(β) = a*sin(α/2) / sin(α)
Отсюда находим высоту h:
h = a*sin(β)*sin(α/2) / sin(α)
Ответ:
h = a*sin(β)*sin(α/2) / sin(α)