Дано:
α - градусная мера дуги, стягиваемой хордой (0° < α < 180°). β - угол между высотой конуса и его образующей. l = m - длина образующей конуса.
Найти:
a - длина хорды.
Решение:
Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через хорду и вершину конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Пусть R - радиус основания конуса, h - высота конуса.
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса h, радиусом R и образующей l, имеем:
cos(β) = h / l => h = lcos(β) = mcos(β)
В том же треугольнике:
sin(β) = R / l => R = lsin(β) = msin(β)
Рассмотрим равнобедренный треугольник сечения. Длины боковых сторон равны l (образующая). Центральный угол, соответствующий дуге α, равен α. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен α/2.
Проведем высоту из вершины конуса к хорде. Эта высота делит хорду пополам и центральный угол пополам (α/2).
В прямоугольном треугольнике, образованном половиной хорды (a/2), радиусом R и частью высоты конуса, применяем теорему синусов:
(a/2) / sin(α/2) = R / sin(90°)
Отсюда:
a/2 = R*sin(α/2)
Подставляем R из пункта 3:
a/2 = m*sin(β)*sin(α/2)
Находим длину хорды a:
a = 2msin(β)*sin(α/2)
Ответ:
a = 2msin(β)*sin(α/2)