Дано:
a = 5 см - длина одного катета прямоугольного треугольника. b = 12 см - длина другого катета прямоугольного треугольника.
Найти:
S - площадь поверхности тела вращения.
Решение:
Найдем длину гипотенузы c по теореме Пифагора:
c = √(a^2 + b^2) = √(5^2 + 12^2) = √(25 + 144) = √169 = 13 см
При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы образуется два конуса с общим основанием. Радиус основания каждого конуса можно найти, используя площадь треугольника:
Sтр = (1/2) * a * b = (1/2) * 5 * 12 = 30 см²
Sтр = (1/2) * c * h, где h - высота треугольника, опущенная на гипотенузу.
h = (2 * Sтр) / c = (2 * 30) / 13 = 60/13 см
Радиус основания конуса R1, образованного вращением катета a, можно найти из подобия треугольников:
R1 / h = a / c
R1 = (a * h) / c = (5 * 60/13) / 13 = 300 / 169 см
Аналогично, радиус основания конуса R2, образованного вращением катета b:
R2 / h = b / c
R2 = (b * h) / c = (12 * 60/13) / 13 = 720 / 169 см
Образующая первого конуса l1 = a = 5 см, образующая второго конуса l2 = b = 12 см.
Площадь боковой поверхности первого конуса:
S1 = π * R1 * l1 = π * (300/169) * 5 = 1500π / 169 см²
Площадь боковой поверхности второго конуса:
S2 = π * R2 * l2 = π * (720/169) * 12 = 8640π / 169 см²
Общая площадь поверхности тела вращения:
S = S1 + S2 = (1500π / 169) + (8640π / 169) = 10140π / 169 ≈ 188.5 см²
Ответ:
10140π/169 см² или приблизительно 188.5 см²