Дано:
a - длина основания равнобедренного треугольника. α - угол при основании равнобедренного треугольника.
Найти:
S - площадь поверхности тела вращения.
Решение:
При вращении равнобедренного треугольника вокруг боковой стороны образуется конус.
Обозначим длину боковой стороны треугольника как b. Высоту, опущенную на основание, обозначим как h. Радиус основания конуса будет равен h.
В прямоугольном треугольнике, образованном половиной основания и высотой, имеем:
h = b * cos(α) и a/2 = b * sin(α)
Из второго уравнения находим b:
b = a / (2 * sin(α))
Подставляя b в выражение для h:
h = a * cos(α) / (2 * sin(α)) = a * cotg(α) / 2
Площадь боковой поверхности конуса S вычисляется по формуле:
S = π * R * l,
где R - радиус основания (в нашем случае R = h), l - образующая (в нашем случае l = b).
Подставляем значения R и l:
S = π * (a * cotg(α) / 2) * (a / (2 * sin(α))) = (π * a^2 * cotg(α)) / (4 * sin(α))
Ответ:
(π * a^2 * cotg(α)) / (4 * sin(α))