Дано:
- АВ = 8√5 см
- ВС = 6√5 см
- AD и CE — медианы треугольника ABC, AD ⊥ CE
Найти:
Сторону AC.
Решение:
1. Обозначим длину стороны AC как x.
2. В треугольнике ABC, где AD и CE являются медианами, по свойству медиан и теореме о перпендикуляре медиан, можно записать следующее: так как AD ⊥ CE, то треугольник делится на 4 меньших треугольника с равными площадями.
3. Площадь треугольника ABC можно выразить через его стороны по формуле Герона, но учитывая, что это может быть сложнее. Поэтому воспользуемся известной формулой для площади треугольника через медианы:
Площадь S = (4/3) * sqrt(p * (p - m1) * (p - m2) * (p - m3)),
где p — полупериметр, а m1, m2, m3 — длины медиан.
4. Длина медианы AD вычисляется по формуле:
m1 = 0.5 * sqrt(2*(AB^2 + AC^2) - BC^2)
= 0.5 * sqrt(2*((8√5)^2 + x^2) - (6√5)^2)
= 0.5 * sqrt(2*(320 + x^2) - 180)
= 0.5 * sqrt(640 + 2x^2 - 180)
= 0.5 * sqrt(460 + 2x^2).
5. Аналогично, медиана CE:
m2 = 0.5 * sqrt(2*(BC^2 + AC^2) - AB^2)
= 0.5 * sqrt(2*((6√5)^2 + x^2) - (8√5)^2)
= 0.5 * sqrt(2*(180 + x^2) - 320)
= 0.5 * sqrt(360 + 2x^2 - 320)
= 0.5 * sqrt(40 + 2x^2).
6. Поскольку AD ⊥ CE, применяем свойства медиан. Известно, что в любом треугольнике с двумя медианами, пересекающимися под прямым углом, справедливо соотношение:
AB^2 + BC^2 = 2AC^2.
7. Подставляем известные значения:
(8√5)^2 + (6√5)^2 = 2x^2,
320 + 180 = 2x^2,
500 = 2x^2,
x^2 = 250,
x = sqrt(250) = 5√10 см.
Ответ:
Сторона AC составляет 5√10 см.