Дано:
- Высота конуса h.
- Площадь основания конуса S.
Найти:
Расстояние от вершины конуса (обозначим его x), на котором следует провести плоскость, перпендикулярную высоте конуса, чтобы площадь образовавшегося сечения была в 3 раза меньше площади основания.
Решение:
1. Площадь сечения S_n, проведенного на высоте x от вершины, будет пропорциональна квадрату радиуса сечения R_n.
2. Радиус сечения R_n можно выразить через радиус основания R и высоту конуса:
R_n = R * (h - x) / h,
где R — радиус основания конуса.
3. Площадь сечения S_n определяется как:
S_n = π * R_n² = π * (R * (h - x) / h)².
4. Поскольку требуется, чтобы площадь сечения S_n была в 3 раза меньше площади основания S, мы можем записать:
S_n = S / 3.
5. Площадь основания S равна:
S = π * R².
6. Подставляя выражения для S и S_n, получаем:
π * (R * (h - x) / h)² = (π * R²) / 3.
7. Упростим уравнение, избавившись от π:
(R * (h - x) / h)² = R² / 3.
8. Разделим обе стороны на R²:
((h - x) / h)² = 1 / 3.
9. Извлечем квадратный корень из обеих сторон:
(h - x) / h = 1 / √3.
10. Перепишем уравнение:
h - x = h / √3.
11. Решим для x:
x = h - h / √3.
12. Приведем к общему знаменателю:
x = h(1 - 1/√3) = h(√3 - 1) / √3.
Ответ:
Расстояние от вершины конуса, на котором следует провести плоскость, составляет h(√3 - 1) / √3.