Question

Равнобедренный остроугольный треугольник с основанием а и противолежащим ему углом а. вращается вокруг прямой, проходящей через вершину данного угла перпендикулярно боковой стороне треугольника. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Answer 1

Дано:
a - длина основания равнобедренного треугольника. α - угол между боковыми сторонами треугольника.

Найти:
S - площадь поверхности тела вращения.

Решение:

При вращении треугольника вокруг указанной прямой образуется конус.

Радиус основания конуса R равен высоте треугольника, опущенной на основание. Найдем эту высоту:

h = (a/2) * tg( (180° - α)/2) = (a/2) * tg(90° - α/2) = (a/2) * ctg(α/2)

R = h = (a/2) * ctg(α/2)

Образующая конуса l равна боковой стороне треугольника b. Найдем ее из прямоугольного треугольника, образованного половиной основания и высотой:
b = (a/2) / sin((180-α)/2) = a/(2sin(90-α/2)) = a/(2cos(α/2))

l = b = a/(2cos(α/2))

Площадь боковой поверхности конуса:
S = π * R * l = π * [(a/2) * ctg(α/2)] * [a/(2cos(α/2))] = (πa² * ctg(α/2)) / (4cos(α/2))

Ответ:
(πa² * ctg(α/2)) / (4cos(α/2))