Дано:
1. Катет прямоугольного треугольника (a).
2. Противолежащий углу (α).
Найти:
Радиус шара, вписанного в прямую призму (R).
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности (r) можно выразить через катеты и гипотенузу. Радиус вписанного круга равен:
r = (a + b - c) / 2,
где a и b — катеты, c — гипотенуза.
2. Поскольку один катет равен a, а второй катет b можно выразить через угол α:
b = a * tan(α).
3. Гипотенуза (c) треугольника вычисляется по теореме Пифагора:
c = √(a² + b²) = √(a² + (a * tan(α))²) = √(a²(1 + tan²(α))) = a * sec(α).
4. Теперь подставим значения в формулу для радиуса:
r = (a + (a * tan(α)) - (a * sec(α))) / 2.
5. Упрощаем:
r = (a(1 + tan(α) - sec(α))) / 2.
6. Теперь радиус шара, вписанного в призму, равен высоте вписанной окружности, которая равна радиусу r.
Ответ:
Радиус шара, вписанного в данную призму, равен (a(1 + tan(α) - sec(α))) / 2.