Дано:
b = 8 см - боковая сторона равнобедренного треугольника. α = 120° - угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника. Угол между диагоналями равных боковых граней = 90°.
Найти:
Sбок - площадь боковой поверхности призмы.
Решение:
Найдем высоту h равнобедренного треугольника:
h = b * sin(α/2) = 8 * sin(60°) = 8 * √3 / 2 = 4√3 см
Найдем основание a равнобедренного треугольника:
a = 2 * b * cos(α/2) = 2 * 8 * cos(60°) = 2 * 8 * 1/2 = 8 см
Площадь основания треугольника:
Sосн = (1/2) * a * h = (1/2) * 8 * 4√3 = 16√3 см²
Обозначим высоту призмы как H. В боковой грани образуется прямоугольный треугольник с катетами H и a/2 = 4 см, а гипотенуза - диагональ боковой грани. Угол между диагоналями боковых граней равен 90°. Поэтому по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном двумя диагоналями и стороной верхнего основания, имеем:
H² + (a/2)² = d² (где d - диагональ боковой грани) H² + 4² = d²
В другом прямоугольном треугольнике, образованном высотой призмы, половиной основания и диагональю боковой грани, имеем:
H² + 4² = d²
Так как угол между диагоналями 90°, то по теореме Пифагора для этих диагоналей:
d1² + d2² = a²
(H² + 4²)+ (H² + 4²) = 8² 2H² + 32 = 64 2H² = 32 H² = 16 H = 4 см
Площадь боковой поверхности призмы:
Sбок = Pосн * H = (a + b + b) * H = (8 + 8 + 8) * 4 = 96 см²
Ответ:
96 см²