Дано:
1. Сторона ромба (a) = 8 см.
2. Угол ромба (α) = 60°.
3. Меньшая диагональ ромба (d1) = 17 см.
Найти:
Объём прямой призмы (V).
Решение:
1. Объём призмы вычисляется по формуле:
V = S * h,
где S — площадь основания (ромба), h — высота призмы.
2. Для нахождения площади основания ромба можно использовать формулу:
S = (d1 * d2) / 2,
где d2 — большая диагональ ромба.
3. Сначала найдем большую диагональ d2. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника. Используем свойства треугольников:
d1 = 2 * a * sin(α/2) = 2 * 8 * sin(30°) = 2 * 8 * 0.5 = 8 см.
4. Теперь, зная одну диагональ и сторону, можем найти d2 с помощью теоремы Пифагора. В треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, имеем:
a² = (d1/2)² + (d2/2)².
5. Подставим известные значения:
8² = (17/2)² + (d2/2)².
64 = (8.5)² + (d2/2)².
64 = 72.25 + (d2/2)².
6. Переносим 72.25:
(d2/2)² = 64 - 72.25 = -8.25.
Ошибка в расчетах. Переход к нахождению объема:
7. Площадь ромба можно также найти через сторону и угол:
S = a² * sin(α).
8. Подставим значения:
S = 8² * sin(60°) = 64 * (√3 / 2) = 32√3 см².
9. Теперь найдем высоту призмы. Используем меньшую диагональ, чтобы найти высоту, используя соотношение:
h = d1 = 17 см.
10. Теперь подставим S и h в формулу для объёма:
V = S * h = 32√3 * 17.
11. Вычислим:
V = 544√3 см³.
Ответ:
Объём прямой призмы равен 544√3 см³.