Дано:
a - сторона основания правильной треугольной пирамиды. α - двугранный угол при ребре основания пирамиды.
Найти:
S - площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.
Решение:
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту и боковое ребро. В этом сечении получим равнобедренный треугольник.
Угол при вершине этого треугольника равен α. Поэтому высота h этого треугольника (равная высоте пирамиды) может быть выражена как:
h = (a√3/6) / tg(α/2)
Радиус R основания вписанного конуса равен 1/3 высоты h основания пирамиды:
R = (a√3/6) / 3 = a√3/18
Найдем образующую l вписанного конуса. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса (которая равна высоте пирамиды h), радиусом R и образующей l, имеем:
l² = h² + R² = [(a√3/6) / tg(α/2)]² + (a√3/18)²
l = √([(a√3/6) / tg(α/2)]² + (a√3/18)²)
Площадь боковой поверхности конуса:
S = πRl = π * (a√3/18) * √([(a√3/6) / tg(α/2)]² + (a√3/18)²)
Ответ:
π * (a√3/18) * √([(a√3/6) / tg(α/2)]² + (a√3/18)²)