Дано:
- Высота правильной треугольной пирамиды H.
- Двугранный угол а при ребре основания.
Найти:
- Площадь поверхности шара, вписанного в данную пирамиду.
Решение:
1. Обозначим радиус вписанной сферы как R. Для правильной треугольной пирамиды радиус вписанной сферы можно вычислить по формуле:
R = V / S,
где V — объем пирамиды, S — площадь основания.
2. Площадь основания правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле:
S = (a² * √3) / 4,
где a — длина стороны основания.
3. Объем правильной треугольной пирамиды рассчитывается по формуле:
V = (1/3) * S * H,
V = (1/3) * [(a² * √3) / 4] * H,
V = (a² * √3 * H) / 12.
4. Подставим выражения для V и S в формулу радиуса R:
R = V / S,
R = [(a² * √3 * H) / 12] / [(a² * √3) / 4].
5. Упростим выражение:
R = [(a² * √3 * H) / 12] * [4 / (a² * √3)],
R = (H / 3).
6. Теперь найдем площадь поверхности сферы, используя формулу:
S_sphere = 4 * π * R².
7. Подставим значение радиуса R:
S_sphere = 4 * π * (H / 3)²,
S_sphere = 4 * π * (H² / 9),
S_sphere = (4πH²) / 9.
Ответ:
Площадь поверхности шара, вписанного в данную пирамиду, равна (4πH²) / 9.