Доказательство:
Пусть в пирамиду MABCD вписан конус. Это означает, что основание конуса лежит в плоскости ABCD, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды M. Кроме того, все боковые грани пирамиды касаются поверхности конуса.
Рассмотрим две пары граней пирамиды: (AMB, CMD) и (AMD, BMC). Пусть R - радиус основания конуса, h - высота конуса.
Площадь треугольника AMB равна (1/2) * AB * h1, где h1 - высота треугольника AMB, проведенная из точки M к стороне AB. Аналогично, площадь треугольника CMD равна (1/2) * CD * h2, где h2 - высота треугольника CMD, проведенная из точки M к стороне CD. Так как конус вписан в пирамиду, то высоты h1 и h2 равны расстоянию от вершины М до плоскости основания ABCD, которое является высотой конуса h. Также, AB и CD являются хордами основания конуса, расположенными симметрично относительно центра основания. Следовательно, расстояния от вершины конуса до сторон AB и CD равны между собой и равны высоте конуса h.
Площадь треугольника AMB = (1/2) * AB * h Площадь треугольника CMD = (1/2) * CD * h
Так как AB = CD (ABCD - вписанный в конус четырехугольник с параллельными сторонами, ABCD - параллелограмм, а при вписанном конусе это прямоугольник), то:
Площадь AMB + Площадь CMD = (1/2) * AB * h + (1/2) * CD * h = (1/2)h (AB + CD)
Аналогично рассмотрим пару граней AMD и BMC:
Площадь AMD = (1/2) * AD * h Площадь BMC = (1/2) * BC * h
Поскольку ABCD - прямоугольник (вписанный в конус четырёхугольник), AD = BC. Следовательно:
Площадь AMD + Площадь BMC = (1/2) * AD * h + (1/2) * BC * h = (1/2)h (AD + BC)
Поскольку ABCD - прямоугольник, AB = CD и AD = BC. Таким образом:
(1/2)h (AB + CD) = (1/2)h (AD + BC)
Следовательно, сумма площадей граней AMB и CMD равна сумме площадей граней AMD и BMC.
Ответ:
Доказательство приведено выше.