Дано:
Центр сферы: точка Р(3; -1; 16)
Точка М(-2; -4; 13) лежит на поверхности сферы.
Найти: Уравнение сферы с центром в точке Р, которое проходит через точку М.
Решение:
1. Уравнение сферы в пространстве имеет вид:
(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²,
где (x₀; y₀; z₀) — координаты центра сферы, а R — радиус сферы.
2. Координаты центра сферы: Р(3; -1; 16), поэтому уравнение примет вид:
(x - 3)² + (y + 1)² + (z - 16)² = R².
3. Радиус сферы можно найти как расстояние между точками Р и М. Для этого используем формулу для расстояния между двумя точками в пространстве:
R = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²),
где (x₁; y₁; z₁) — координаты точки Р, а (x₂; y₂; z₂) — координаты точки М.
4. Подставляем координаты точек Р(3; -1; 16) и М(-2; -4; 13):
R = √((-2 - 3)² + (-4 - (-1))² + (13 - 16)²)
= √((-5)² + (-3)² + (-3)²)
= √(25 + 9 + 9)
= √43.
5. Теперь, зная радиус, подставим его в уравнение сферы:
(x - 3)² + (y + 1)² + (z - 16)² = (√43)².
Упростим:
(x - 3)² + (y + 1)² + (z - 16)² = 43.
Ответ: Уравнение сферы с центром в точке Р(3; -1; 16), которая проходит через точку М(-2; -4; 13), имеет вид:
(x - 3)² + (y + 1)² + (z - 16)² = 43.