Дано:
1. Длина общей хорды (L) = 12 см.
2. Площадь первого сечения (S1) = 64π см².
3. Площадь второго сечения (S2) = 100π см².
Найти:
Радиус шара (R).
Решение:
1. Площадь круга выражается как:
S = πR².
Для первого сечения:
S1 = πR1², где R1 — радиус первого сечения.
64π = πR1².
R1² = 64, следовательно, R1 = 8 см.
2. Для второго сечения:
S2 = πR2², где R2 — радиус второго сечения.
100π = πR2².
R2² = 100, следовательно, R2 = 10 см.
3. Поскольку сечения шара перпендикулярны и имеют общую хорду, можно использовать теорему о хорде и радиусах:
L = 2 * √(R² - d²), где d — расстояние от центра шара до плоскости сечения.
4. Для первого сечения:
12 = 2 * √(R² - d1²).
6 = √(R² - d1²).
Квадратим:
36 = R² - d1².
d1² = R² - 36.
5. Для второго сечения:
12 = 2 * √(R² - d2²).
6 = √(R² - d2²).
Квадратим:
36 = R² - d2².
d2² = R² - 36.
6. Поскольку d1 и d2 различны, и сечения касаются одной и той же хорды, расстояния d1 и d2 удовлетворяют:
d1 + d2 = 12.
7. Подставим выражения для d1 и d2:
√(R² - 36) + √(R² - 36) = 12.
2√(R² - 36) = 12.
√(R² - 36) = 6.
Квадратим:
R² - 36 = 36.
R² = 72.
R = √72 = 6√2 см.
Ответ:
Радиус шара равен 6√2 см.