дано:
α - острый угол ромба, являющегося основанием призмы.
найти:
β - угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью основания.
решение:
В призму вписан шар. Это означает, что высота призмы равна диаметру круга, вписанного в ромб.
Радиус вписанной в ромб окружности R = (1/2) * hромб, где hромб - высота ромба.
Выразим высоту ромба через сторону ромба a и острый угол α:
hромб = a * sinα
Высота призмы h = 2R = a * sinα
Меньшая диагональ ромба d2 = 2a * sin(α/2)
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю призмы, высотой призмы и проекцией меньшей диагонали на плоскость основания. Угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью основания обозначим как β.
Тогда tgβ = h / (d2/2) = (a * sinα) / (a * sin(α/2)) = sinα / sin(α/2)
Используя тригонометрическое тождество sinα = 2sin(α/2)cos(α/2), получаем:
tgβ = 2sin(α/2)cos(α/2) / sin(α/2) = 2cos(α/2)
β = arctg(2cos(α/2))
ответ:
β = arctg(2cos(α/2))