Дано:
1. Длина ребра правильного тетраэдра (a).
Найти:
Радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр (R).
Решение:
1. Радиус вписанного шара в правильном тетраэдре можно выразить через длину ребра по следующей формуле:
R = a / (2√6).
2. Для получения этой формулы используем известные свойства правильного тетраэдра:
- Объем V правильного тетраэдра можно выразить как:
V = (a³ / (6√2)).
- Площадь полной поверхности S:
S = (√3 * a²).
3. Радиус вписанного шара также можно выразить через объем и площадь поверхности:
R = 3V / S.
4. Подставим формулы для V и S:
R = 3 * (a³ / (6√2)) / (√3 * a²).
5. Упрощаем:
R = (3a³) / (6√2 * √3 * a²) = a / (2√6).
Ответ:
Радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр с ребром a, равен a / (2√6).