Дано: правильная четырёхугольная пирамида с длиной каждого ребра a.
Найти: радиус шара, вписанного в пирамиду.
Решение:
1. Геометрия правильной четырёхугольной пирамиды:
- Основание пирамиды — квадрат со стороной a.
- Все боковые рёбра равны a, и они соединяют вершину пирамиды с вершинами квадрата.
2. Площадь основания:
Площадь квадрата, который является основанием пирамиды, равна:
S_основания = a².
3. Высота пирамиды:
Для нахождения высоты пирамиды нужно использовать теорему Пифагора в треугольнике, образованном высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром.
Диагональ квадрата:
d = a√2.
Половина диагонали:
d/2 = a√2 / 2 = a / √2.
В прямоугольном треугольнике, в котором гипотенуза — это боковое ребро пирамиды (длина a), а один из катетов — половина диагонали основания (a / √2), другой катет будет являться высотой пирамиды h. Тогда по теореме Пифагора:
a² = (a / √2)² + h²,
a² = a² / 2 + h²,
h² = a² - a² / 2,
h² = a² / 2,
h = a / √2.
4. Радиус вписанного шара:
Радиус вписанного шара в правильную пирамиду можно выразить через площадь основания S_основания и высоту пирамиды h. Формула для радиуса вписанного шара в правильную пирамиду имеет вид:
r = (3 * V) / S_основания,
где V — объём пирамиды.
Объём пирамиды:
V = (1/3) * S_основания * h = (1/3) * a² * (a / √2) = a³ / (3√2).
Теперь найдём радиус:
r = (3 * (a³ / (3√2))) / a² = a / √2.
Ответ: радиус вписанного шара равен r = a / √2.