Дано:
1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды (a).
2. Плоский угол при вершине пирамиды (α).
Найти:
Радиус шара, вписанного в данную пирамиду (R).
Решение:
1. Площадь основания правильной треугольной пирамиды (S_основания) можно вычислить по формуле для площади равностороннего треугольника:
S_основания = (√3 / 4) * a².
2. Полупериметр основания (p):
p = (3a) / 2.
3. Высота пирамиды (H) можно найти, используя плоский угол α. Для этого используем треугольник, состоящий из высоты H, радиуса вписанной сферы R и расстояния от центра основания до вершины пирамиды.
4. Из треугольника, образованного высотой и половиной стороны основания, можно выразить высоту:
h = (a / 2) * tan(α).
5. Радиус вписанной сферы (R) можно найти по формуле:
R = (S_основания * H) / (p * (H + r)),
где r — радиус вписанной окружности основания. Радиус вписанной окружности (r) равен:
r = S_основания / p = ((√3 / 4) * a²) / ((3a) / 2) = (√3 / 6) * a.
6. Теперь подставляем все значения в формулу для R:
R = (S_основания * H) / (p * (H + r)).
7. Подставим значение S_основания, p и r:
R = (((√3 / 4) * a²) * h) / ((3a / 2) * (h + (√3 / 6) * a)).
8. Упростив, получим радиус:
R = (√3 * a² * h) / (6 * (h + (√3 / 6) * a)).
Ответ:
Радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен (√3 * a² * h) / (6 * (h + (√3 / 6) * a)).