Дано:
1. Центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды (O).
2. Центр шара, вписанного в пирамиду (I).
Найти:
Доказать, что если O и I совпадают, то данная пирамида является правильным тетраэдром.
Решение:
1. Определим, что такое правильная треугольная пирамида. Это пирамида, у которой основание — правильный треугольник, а все боковые грани также равносторонние треугольники.
2. Центр описанного шара (O) находится в точке, равноведущей всем вершинам пирамиды, а центр вписанного шара (I) находится в точке, равноведущей всем граням пирамиды.
3. Если O и I совпадают, это означает, что расстояния от O до всех вершин пирамиды равны (равноведущие вершины), и расстояния от I до всех граней также равны.
4. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду ABCD, где ABC — основание, а D — вершина. Для этой пирамиды центры O и I будут находиться на одной линии, проходящей через точку D и перпендикулярной основанию ABC.
5. Если O и I совпадают, то высота пирамиды от точки D до плоскости ABC делит это расстояние пополам, что свидетельствует о симметрии.
6. Следовательно, все боковые грани (треугольники ABD, ACD, BCD) должны быть равносторонними, а основания должны быть равносторонним треугольником.
7. Поскольку все грани равны и симметричны относительно высоты, это свидетельствует о том, что пирамида является правильным тетраэдром.
Ответ:
Если центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, и центр вписанного в неё шара совпадают, то данная пирамида является правильным тетраэдром.