дано:
l = 0,02√3 м (образующая усеченного конуса) r1 = 0,01√3 м (радиус меньшего основания) α = 60° (угол между образующей и большим основанием)
найти:
R - радиус сферы, описанной около усеченного конуса
решение:
В осевом сечении усеченного конуса мы имеем трапецию. Угол между образующей и большим основанием равен 60°. Пусть r2 - радиус большего основания.
В прямоугольном треугольнике, образованном образующей, радиусом большего основания и высотой усеченного конуса (h), имеем:
cos(60°) = h / l h = l * cos(60°) = 0,02√3 м * 0,5 = 0,01√3 м
И также:
sin(60°) = (r2 - r1) / l r2 - r1 = l * sin(60°) = 0,02√3 м * (√3 / 2) = 0,03 м r2 = r1 + 0,03 м = 0,01√3 м + 0,03 м ≈ 0,0473 м
Теперь найдем радиус описанной окружности около трапеции. Для этого воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности около четырехугольника, вписанного в окружность. Трапеция вписана в окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная. В нашем случае трапеция равнобедренная, так как осевое сечение конуса симметрично.
Радиус описанной окружности R можно найти через площадь трапеции и полупериметр:
S = (r1 + r2) * h / 2 ≈ (0.01√3 м + 0.0473 м) * 0.01√3 м / 2 ≈ 0.0005 м^2
Полупериметр p = (l + l + r1 + r2)/2 = l + (r1+r2)/2 ≈ 0,02√3 м + 0,0473м/2 ≈ 0,05 м
R = S / p ≈ 0.0005 м^2 / 0.05 м ≈ 0,01 м
Но это приблизительное решение, основанное на формуле для площади трапеции. Более точный подход - использовать свойства описанной окружности около равнобедренной трапеции. В данном случае, проще использовать формулу R = l / 2sin(60°)
R = l / (2sin(60°)) = (0,02√3 м) / (2 * √3/2) = 0.01 м
Ответ:
0,01 м или 1 см