дано:
b - образующая конуса (в метрах) α - угол при вершине осевого сечения конуса
найти:
r - радиус шара, вписанного в конус
решение:
Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами длиной b и углом α при вершине. Пусть r - радиус вписанного шара, R - радиус основания конуса, h - высота конуса.
В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают. Радиус вписанного шара равен расстоянию от центра вписанного круга до стороны треугольника.
В осевом сечении конуса центр вписанного шара лежит на высоте конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса (h), радиусом основания (R) и образующей (b).
В этом треугольнике:
tg(α/2) = R / h
Радиус вписанного шара равен:
r = R * sin(α/2) = h * cos(α/2) * sin(α/2) = h/2 * sin(α)
Также, можно выразить R и h через b и α:
R = b * sin(α/2) h = b * cos(α/2)
Подставим в формулу радиуса вписанного шара:
r = b * sin(α/2) * cos(α/2) = (b/2) * sin(α)
Ответ:
(b/2) * sin(α)