Дано:
1. Вектор m = (3; -2; р).
2. Вектор n = (-9; 6; -12).
Найти:
1) Значение р, при котором векторы m и n коллинеарны.
2) Значение р, при котором вектор m будет перпендикулярен оси z.
3) Уравнение плоскости, которая содержит ось z и перпендикулярна вектору m.
Решение:
1) Для того чтобы векторы m и n были коллинеарны, необходимо, чтобы их компоненты были пропорциональны. Это значит, что:
(3 / -9) = (-2 / 6) = (р / -12).
Упростим пропорции:
3 / -9 = -1 / 3,
-2 / 6 = -1 / 3.
Теперь решим для р:
3 / -9 = р / -12.
Умножим обе стороны на -12:
р = (3 * -12) / -9 = 4.
Значит, при р = 4 векторы m и n коллинеарны.
2) Вектор m будет перпендикулярен оси z, если его z-компонента равна 0:
р = 0.
3) Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору m и проходящей через ось z, можно записать в виде:
Ax + By + Cz = D,
где A, B, C - координаты вектора m, а D - произвольная константа, равная 0, так как плоскость проходит через ось z:
3x - 2y + рz = 0.
Подставим р = 4:
3x - 2y + 4z = 0.
Ответ:
1) При р = 4 векторы m и n коллинеарны.
2) При р = 0 вектор m перпендикулярен оси z.
3) Уравнение плоскости: 3x - 2y + 4z = 0.